$$
X=\sum_{i=1}^{4}{\frac{(o_i-e_i)^2}{e_i}}=6.25
$$
$$
\chi^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}
$$
$$
\frac{P\left(Y=1,X=1\right)}{P\left(X=1\right)}=\frac{P\left(Y=1\right)\left[1-P\left(X=1\ |\ Y=1\right)\right]}{1-P\left(X=1\right)} =\frac{P\left(Y=1\right)-P\left(Y=1,X=1\right)}{1-P(X=1)}
$$
$$
P\left(\chi^2\right)=\frac{1}{\sqrt2\Gamma(1/2)}x^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{x}{2}}
$$
$$
\Gamma\left(x\right)=\int_{0}^{+\infty}{x^{n-1}e^{-x}dx}
$$
写到这，那么接下来的检验就很简单了，我们只需要把值代进去一算，看算出来的
$$\chi^2$$
是“较大”还是“较小”。如果较小，说明我们有理由去说明假设
$$H_0$$
是成立的，如果较大，那说明我们没有足够的理由去说明
$$H_0$$
是不成立的，也就是说，谈恋爱是跟听情歌有关系的。关于较大较小是如何判断的，考试时会贴心地给你一张表，但这个表是如何算出来的，这就涉及到一些本科的知识了。接下来的是拓展内容，
$$\chi^2$$
的概率分布服从一个名为卡方分布的东西，它的概率密度函数长这样：
$$P\left(\chi^2\right)=\frac{1}{2^\frac{n}{2}\Gamma(n/2)}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}$$
其中n是自由度，数学家已经证明了在
$$H_0$$
成立的前提下，我们在两个分类变量下算出来的
$$\chi^2$$
服从
$$n=1$$
的卡方分布，
$$\Gamma(x)$$
是$$gamma$$函数，它长成这个样子：
$$\Gamma\left(x\right)=\int_{0}^{+\infty}{x^{n-1}e^{-x}dx}$$
所以：
$$P\left(\chi^2\right)=\frac{1}{\sqrt2\Gamma(1/2)}x^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{x}{2}}$$
它的图像大概长这样：